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Lógica

1. Conceptos

Qué es la Lógica:

Lógica es una ciencia formal que estudia la estructura o formas del pensamiento humano (como proposiciones, conceptos y razonamientos) para establecer leyes y principios válidos para obtener criterios de verdad.

Como adjetivo, 'lógico' o 'lógica' significa que algo sigue las reglas de la lógica y de la razón. Indica también una consecuencia esperable natural o normal.

Se utiliza también para referirse al llamado 'sentido común'. Procede del latín logĭca, y a su vez del griego λογική (logike, 'que posee razón, 'intelectual', 'dialéctico', 'argumentativo'), que a su vez deriva de la palabra λόγος (logos, 'palabra', 'pensamiento', 'razón', 'idea','argumento').

Lógica proposicional, matemática o simbólica

La lógica proposicional es la rama de la lógica que estudia las variables proposicionales, las conectivas lógicas (). Algunos autores también la identifican con la lógica matemática o la lógica simbólica, ya que utiliza una serie de símbolos especiales que la acercan al lenguaje matemático. Las proposiciones pueden ser verdaderas o falsas.

2. Definición de Proposición

Una proposición (o enunciado ) es una expresión con valor referencial o informativo, de la cual se puede formular su veracidad o falsedad; es decir, que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez.

La proposición es la expresión lingüística del razonamiento, que se caracteriza por ser verdadera o falsa empíricamente, sin ambigüedades. Son proposiciones las oraciones aseverativas, las leyes científicas, las fórmulas matemáticas, las fórmulas y/o esquemas lógicos, los enunciados cerrados o claramente definidos. No son proposiciones las opiniones y suposiciones; los proverbios, modismos y refranes; los enunciados abiertos no definidos; las oraciones interrogativas, exclamativas, imperativas, desiderativas y dubitativas; las interjecciones en general.

3. Operaciones con proposiciones Negacion En lógica y matemática, la negación, también llamada complemento lógico, es una operación sobre proposiciones, valores de verdad, o en general, valores semánticos. Intuitivamente, la negación de una proposición es verdadera cuando dicha proposición es falsa, y viceversa. En lógica clásica la negación normalmente se identifica con la función de verdad que cambia su valor de verdadero a falso y viceversa. En lógica intuicionista, de acuerdo a la interpretación de Brouwer–Heyting–Kolmogorov, la negación de una proposición p es la proposición cuyas pruebas son las refutaciones de p. Lógica de proposiciones Siendo ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ el conjunto de proposiciones, y ${\displaystyle a,b,c,d,\dots }$ proposiciones de ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$, se puede definir la operación unaria: negación, por la que a una variable ${\displaystyle b\,}$ de ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ se le asigna el valor negado de la variable ${\displaystyle a}$ de ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$. ${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}\lnot :&{\mathcal {P}}&\longrightarrow &{\mathcal {P}}\\&a&\mapsto &b=\lnot (a)\;\equiv \;b=\lnot a\end{array}}}$ Conjunción o producto lógico En razonamiento formal, una conjunción lógica ( ${\displaystyle \land }$ ) entre dos proposiciones es un conector lógico cuyo valor de la verdad resulta en cierto solo si ambas proposiciones son ciertas, y en falso de cualquier otra forma.1​ Existen diferentes contextos donde se utiliza la conjunción lógica. En lenguajes formales, la palabra "y" se utiliza en español para simbolizar una conjunción lógica. La noción equivalente en la teoría de conjuntos es la intersección ( ${\displaystyle \cap }$ ). En álgebra Booleana, la conjunción como operador binario entre dos variables se representa con el símbolo de punto medio ( · ). En electrónica, una puerta AND es una puerta lógica que implementa la conjunción lógica. Lógica de proposiciones Siendo ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ el conjunto de proposiciones, y ${\displaystyle a,b,c,d,\dots }$ proposiciones de ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$, se puede definir la operación binaria: conjunción, por la que a una variable ${\displaystyle c\,}$ de ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ se le asigna el valor de la conjunción del par ordenado de la variables ${\displaystyle (a,b)}$ de ${\displaystyle {\mathcal {P}}\times {\mathcal {P}}}$. ${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\land :&{\mathcal {P}}\times {\mathcal {P}}&\longrightarrow &{\mathcal {P}}\\&(a,b)&\mapsto &c=\land (a,b)\;\equiv \;c=a\land b\end{array}}}$ Definición Dado un conjunto universal U formado por los elementos falso: F y verdadero: V: ${\displaystyle U=\{F,V\}}$ y una operación binaria interna conjunción ${\displaystyle \land }$, que representaremos ${\displaystyle (U,\land )}$: ${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\land :&\;U\times U&\to &U\\&(a,b)&\to &c=a\land b\end{array}}}$ por la que definimos una aplicación que a cada par ordenado (a,b) de U por U se le asigna un c de U. ${\displaystyle \forall (a,b)\in U\times U\,:\quad \exists !c\in U\;/\quad c=a\land b}$ Para todo par ordenado (a,b) en U por U, se cumple que existe un único c en U, tal que c es el resultado de la conjunción lógica a y b. Disyunción o suma lógica  Disyunción lógica En razonamiento formal, una disyunción lógica () (en específico, una disyunción inclusiva) entre dos proposiciones es un conector lógico, cuyo valor de la verdad resulta en falso solo si ambas proposiciones son falsas, y en cierto de cualquier otra forma.1​ Existen diferentes contextos donde se utiliza la disyunción lógica. En lenguajes formales, la palabra "o" se utiliza en español para simbolizar una disyunción lógica. Se debe distinguir entre el "o" inclusivo y el "o" exclusivo; este artículo se refiere al "o" inclusivo. La noción equivalente en la teoría de conjuntos es la unión (). En álgebra Booleana, la disyunción como operador binario entre dos variables se representa con el símbolo de más (+). Lógica de proposiciones Siendo ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ el conjunto de proposiciones, y ${\displaystyle a,b,c,d,\dots }$ proposiciones de ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$, se puede definir la operación binaria: disyunción, por la que a una variable ${\displaystyle c\,}$ de ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ se le asigna el valor de la disyunción del par ordenado de las variables ${\displaystyle (a,b)}$ de ${\displaystyle {\mathcal {P}}\times {\mathcal {P}}}$. ${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\lor :&{\mathcal {P}}\times {\mathcal {P}}&\longrightarrow &{\mathcal {P}}\\&(a,b)&\mapsto &c=\lor (a,b)\;\equiv \;c=a\lor b\end{array}}}$ Definición Dado un conjunto universal U formado por los elementos falso: F y verdadero: V: ${\displaystyle U=\{F,V\}}$ y una operación binaria interna disyunción ${\displaystyle \lor }$, que representaremos ${\displaystyle (U,\lor )}$: ${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\lor :&\;U\times U&\to &U\\&(a,b)&\to &c=a\lor b\end{array}}}$ por la que definimos una aplicación que a cada par ordenado (a,b) de U por U se le asigna un c de U. ${\displaystyle \forall (a,b)\in U\times U\,:\quad \exists !c\in U\;/\quad c=a\lor b}$ Para todo par ordenado (a,b) en U por U, se cumple que existe un único c en U, tal que c es el resultado de la disyunción lógica a y b. Para dos entradas a y b, la tabla de la verdad de la función disyuntiva es también la disyunción ${\displaystyle \lor }$, cuando hay dos elementos en dos conjuntos que integran una proposición. La tabla de la verdad es: ${\displaystyle {\begin{array}{|c|c||c|}\hline a&b&a\lor b\\\hline F&F&F\\V&F&V\\F&V&V\\V&V&V\\\hline \end{array}}}$ Implicación o condicional Si se conectan dos enunciados colocando la palabra “si” antes de la condición – llamada antecedente - y después de la palabra “entonces” , el  consecuente; la proposición compuesta resultante se llama un condicional, proposición hipotética o implicación Ejemplo 1: si p es : -1 = 1 antecedente falso, y si q es : (-1)2 = ( 1 )2 consecuente verdadero, entonces: p  q : si -1 = 1  (-1)2 = (1)2, es implicación verdadera. Ejemplo 2: si p : -1 = 1 antecedente falso y si q : -3 = 3 consecuente falso, entonces: p  q : si -1 = 1  -3 = 3, es implicación verdadera. Bi-condicional o doble implicación El valor de verdad de un bicondicional «p si y solo si q» es verdadero cuando ambas proposiciones (p y q) tienen el mismo valor de verdad, es decir, ambas son verdaderas o falsas simultáneamente; de lo contrario, es falso. Se tiene así que la afirmación «p si y solo si q» es lógicamente equivalente al par de afirmaciones «Si p, entonces q», y «si q, entonces p». Escrito utilizando conectivas lógicas : ${\displaystyle p\leftrightarrow q\equiv (p\to q)\wedge (q\to p)}$. De manera más precisa, el operador bicondicional tiene la siguiente tabla de verdad: si y solo si p q p ↔ q V V V V F F F V F F F V 4.Proposiciones Simples

Ejemplos de proposiciones simples

1. El 9 y el 27 son factores del 81.
2. Esa caja es de madera.
3. Nada es para siempre.
4. La música clásica es la más antigua del mundo.
5. Los números pares son divisibles por dos.
6. La capital de Rusia es Moscú.
7. Esa chica es mi amiga.
8. Son las tres de la tarde con veintiséis minutos.
9. Los animales carnívoros se alimentan de plantas. (Proposición falsa)
10. Mi nombre es Fabián.
11. Está lloviendo.
12. El número 1 es un número natural.
13. En este país, el verano es muy caluroso.
14. Mañana será miércoles.
15. El número 6 es menor al número 17.
16. Hoy es 7 de octubre.
17. Su gato es marrón.
18. Mi hermano vende pastas.
19. La tierra es plana.
20. Mario Vargas Llosa es un importante escritor.

5. Proposiciones compuestas

Las proposiciones compuestas

Las proposiciones compuestas aparecen mediadas por la presencia de alguna clase de conector, que puede ser de oposición (o, ni), de adición (y, e) o de condición (si). Además, se consideran compuestas a las proposiciones negativas, que incluyen la palabra no.

Esto explica que en la proposición compuesta la relación entre el sujeto y el objeto no se produzca en forma general, sino sometida a la presencia del conector: podrá cumplirse solo cuando otra cosa suceda, podrá cumplirse tanto para ese como para otros, o podrá cumplirse solo para uno de todos.

Ejemplos de proposiciones compuestas

1. Puedo manejar un auto si tiene dirección hidráulica.
2. Gabriel García Márquez fue un gran escritor y bailarín.
3. Las células son procariotas o eucariotas.
4. La raíz cuadrada de 25 es 5, o -5.
5. No todos los números primos son impares.
6. Mi cuñado es arquitecto e ingeniero.
7. Los aparatos tecnológicos son negros, blancos o grises.
8. Si tengo hambre pues cocino.
9. Turquía es un país que se encuentra en Asia y Europa.
10. La suma de los cuadrados de ambos catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, si se trata de un triángulo rectángulo.
11. Una ballena no es roja.
12. El número más grande no es 1000000.
13. Si el ovino come pasto, es herbívoro.
14. Si la información no es completa para oferentes y demandantes, hay una falla de mercado.
15. Está lloviendo y hace calor.
16. Nuestra bandera es blanca y celeste.
17. El 9 es divisor del 45, y el 3 es divisor del 9 y del 45.
18. Marcos se dedica a la natación o al alpinismo.
19. El número 6 es mayor que el 3 y menor que el 7.
20. He pasado todas mis vacaciones en Grecia y Marruecos.

6. Clasificación de las formulas proposicionales

Tautologia 

Para cada una de estas interpretaciones, se puede calcular el valor de verdad de la fórmula p ∧ q. Los resultados se pueden presentar nuevamente mediante una tabla:

${\displaystyle {\begin{array}{c|c|c}p&q&p\land q\\\hline V&V&V\\V&F&F\\F&V&F\\F&F&F\\\end{array}}}$

Esta es la tabla de verdad de la fórmula p ∧ q. Como se ve, esta fórmula solo es verdadera bajo una interpretación: aquella en la que ambas fórmulas atómicas son verdaderas. Una tautología es una fórmula que es verdadera para todas las interpretaciones posibles de las fórmulas atómicas. Por lo tanto, p ∧ q no es una tautología. En cambio, la siguiente tabla de verdad muestra una fórmula que sí lo es:

${\displaystyle {\begin{array}{c|c|c|c}p&q&p\land q&(p\land q)\to p\\\hline V&V&V&V\\V&F&F&V\\F&V&F&V\\F&F&F&V\\\end{array}}}$

Si una fórmula tiene n fórmulas atómicas distintas, entonces tiene 2ⁿ interpretaciones posibles. En muchos casos, por lo tanto, las tablas de verdad pueden ser muy grandes. Lo importante, sin embargo, es que dado que la lógica proposicional no admite fórmulas infinitamente largas, el número de interpretaciones posibles siempre será finito, y por lo tanto siempre será posible decidir si una fórmula cualquiera es una tautología o no.

Anti Tautologia o contradicción

En lógica proposicional, una contradicción se define como una fórmula que resulta falsa para cualquier interpretación, es decir para cualquier asignación de valores de verdad que se haga a sus fórmulas atómicas. Por ejemplo:

Una función de una variable:

${\displaystyle {\begin{array}{|c|}\hline p\\\hline V\\F\\\hline \end{array}}}$

y una función de esa variable:

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}\hline p&\thicksim p&p\land \thicksim p\\\hline V&F&F\\F&V&F\\\hline \end{array}}}$

Lo que da falso para todos los valores de p.

Una función de dos variables:

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|}\hline p&q\\\hline V&V\\V&F\\F&V\\F&F\\\hline \end{array}}}$

la siguiente tabla muestra una contradicción:

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline p&q&(p\lor q)&\thicksim (p\lor q)&(p\lor q)\Leftrightarrow \thicksim (p\lor q)\\\hline V&V&V&F&F\\V&F&V&F&F\\F&V&V&F&F\\F&F&F&V&F\\\hline \end{array}}}$

Dada esta definición, toda contradicción es la negación de una tautología, y toda tautología es la negación de una contradicción. Siguiendo el ejemplo anterior, al negar la contradicción obtenemos una tautología:

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&(p\lor q)&\thicksim (p\lor q)&(p\lor q)\Leftrightarrow \thicksim (p\lor q)&\thicksim ((p\lor q)\Leftrightarrow \thicksim (p\lor q))\\\hline V&V&V&F&F&V\\V&F&V&F&F&V\\F&V&V&F&F&V\\F&F&F&V&F&V\\\hline \end{array}}}$

En lógica proposicional, una contradicción se define como una fórmula que resulta falsa para cualquier interpretación, es decir para cualquier asignación de valores de verdad que se haga a sus fórmulas atómicas. Por ejemplo:

Una función de una variable:

${\displaystyle {\begin{array}{|c|}\hline p\\\hline V\\F\\\hline \end{array}}}$

y una función de esa variable:

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}\hline p&\thicksim p&p\land \thicksim p\\\hline V&F&F\\F&V&F\\\hline \end{array}}}$

Lo que da falso para todos los valores de p.

Una función de dos variables:

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|}\hline p&q\\\hline V&V\\V&F\\F&V\\F&F\\\hline \end{array}}}$

la siguiente tabla muestra una contradicción:

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline p&q&(p\lor q)&\thicksim (p\lor q)&(p\lor q)\Leftrightarrow \thicksim (p\lor q)\\\hline V&V&V&F&F\\V&F&V&F&F\\F&V&V&F&F\\F&F&F&V&F\\\hline \end{array}}}$

Dada esta definición, toda contradicción es la negación de una tautología, y toda tautología es la negación de una contradicción. Siguiendo el ejemplo anterior, al negar la contradicción obtenemos una tautología:

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&(p\lor q)&\thicksim (p\lor q)&(p\lor q)\Leftrightarrow \thicksim (p\lor q)&\thicksim ((p\lor q)\Leftrightarrow \thicksim (p\lor q))\\\hline V&V&V&F&F&V\\V&F&V&F&F&V\\F&V&V&F&F&V\\F&F&F&V&F&V\\\hline \end{array}}}$

Contigencia

Es cuando tienen solamente proposiciones verdaderas para todos los valores de verdad de las variables proposicionales.
Ejemplo:

~p v p

Se entiende por verdad contingente o verdad de hecho, aquella proposición puede ser verdadera o falsa según las proposiciones que la integren ( es una combinación entre tautología y contradicción).

Ejemplos: “Voy a subir arriba a buscar un libro y vuelvo” o “Tengo que salir afuera" Por lo tanto dichas aclaraciones carecen de sentido y resultan innecesarias para la comprensión.